指数函数(Exponential Functions)

时间:2020-07-11    作者:     205 次浏览


若我们将纸对摺为两半再撕开,会得到两张纸;将这两张纸叠在一起再对摺撕开时,则会得到四张纸。很明显的,对摺并撕开的次数与纸的数量之间有一个对应的关係。假设原本有 $$P$$ 张一样大的纸,例如(沿长边)对摺撕开 $$P$$ 张A3大小纸,会得到 $$2P$$ 张A4大小的纸。进行以上的对摺撕开活动,则次数和纸张数的对应关係如下表:

指数函数(Exponential Functions)

应用次方写法,我们则可以将以上关係列通式为 $$f(n)={P}\times{a}^n$$,其中 $$n$$ 代表对摺撕开的次数。当次数为 $$0$$ 的时候就是原来的 $$P$$ 张纸,而因为 $$a^0=1$$,所以 $$f(0)=P$$ 就表现出纸张的初始量。

一般而言,当 $$a>0$$ 且不等于 $$1$$时,我们称 $$f(n)=Pa^x$$ 这样的函数为指数函数,其中 $$P>0$$ 称为係数,它也是此指数函数的初始值。一旦写成数学函数形式,则可代入的 $$x$$ 就不限于 $$0$$ 或正整数了。以前面的对摺撕开为例,当次数为 $$-1$$ 可以理解为两张一样大的纸合併起来。例如将两张A4大小的纸(沿长边)拼起来,就变成一张A3大小的纸。我们不讨论 $$a=1$$ 的指数函数,原因之一是 $$f(x)={P}\times{1^x}=P$$ 根本就是常数函数,所以不讨论这种(无聊的)状况。

在直角坐标平面上,将 $$x$$ 与 $$y=f(x)$$ 表现为坐标是 $$(x,y)$$ 的点,就会得到函数图形。以下为仅代入 $$x={-2}$$、$$-1$$、$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$ 等整数时,所得到的点。

指数函数(Exponential Functions)

虽然对摺撕开的活动所产生的指数函数并没有代入分数的意义,但有许多其他情况是可以代入分数的,例如培养时间和培养皿中乳酸菌的数量关係。假设刚开始的乳酸菌数量为 $$P$$,每过一天会增为 $$2P$$,则培养 $$x$$ 天后的乳酸菌数量 $$y$$ 也符合指数函数 $$f(x)=P2^x$$。如果经过半天的培养时间,就是 $$x=0.5$$ 的意思,而 $$f(05)=\sqrt{2}{P}$$。同理,代入 $$x=0.25$$ 就是培养了六小时的意思。

代入 $$x$$ 为 $$0$$ 至 $$4$$ 之间的整数和二分数、四分数,画出 $$(x,f(x))$$ 对应的点如下图。

指数函数(Exponential Functions)

若不断地增加画图的点数,最后会出现一条平滑的曲线,如下图。

这就是指数函数 $$f(x)=2^x$$ 的(一部份)图形。

指数函数(Exponential Functions)

因为当 $$a>b$$ 总是使得 $$2^a>2^b$$,所以随着 $$x$$ 越来越大,$$y=2^x$$ 也越来越大。这种情况称为函数递增。而递增函数的图形特徵,则是曲线朝着坐标平面的右上方延伸。另外,不论 $$x$$ 为何,总是使得 $$2^x>0$$,所以 $$f(x)=2^x$$ 的函数值恆正,它的图形与 $$x$$ 轴没有任何交点。虽然上图的左下角,看起来函数图形与 $$x$$ 轴很接近,但是它们是永不相交的。

当 $$P>0$$、$$a>1$$,一般的指数函数 $$f(x)=Pa^x$$ 也都有类似 $$f(x)=2^x$$ 的以下特徵:

再考虑对摺撕开纸张的活动,如果一开始纸张的面积是 $$P$$,则每对摺撕开一次,纸张的面积变成 $$\frac{P}{2}$$。在此情况下,我们该讨论 $$f(x)=P(\frac{1}{2})^x$$ 这种指数函数。或者,如果培养皿中原本有 $$P$$ 个乳酸菌,在投药之后,每过一天会消灭一半的乳酸菌,也使得我们讨论 $$f(x)=P(\frac{1}{2})^x$$。

$$f(x)=P(\frac{1}{2})^x$$ 的(部分)函数图形如下。

指数函数(Exponential Functions)

因为当 $$a>b$$ 总是使得 $$\frac{1}{2^a}<\frac{1}{2^b}$$,所以 $$f(x)=P(\frac{1}{2})^x$$ 递减。因为 $$2^x$$ 恆正,所以 $$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2^x}$$ 也恆正。例如,理想上来说,纸张无限制地对摺下去会让面积愈来愈小,但永远不会是零(就算小到奈米尺度,仍然不是零;也许以后可以在这幺小的纸上写些什幺)。所以函数图形在右下角虽然看起来与 $$x$$ 轴很贴近,但是并不相交。

一般而言,当 $$P>0$$、$$0

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